자유도 (역학)

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1. 개요
2. 자유도의 계산
- 2.1. 일반적인 경우
- 2.2. 그뤼블러-커츠바흐 방정식
3. 강체의 자유도
4. 이동성 공식 (Mobility Formula)
5. 다물체 시스템 (Systems of Bodies)
6. 전기 공학에서의 자유도
참조

1. 개요

자유도(degrees of freedom, DOF)는 역학에서 강체 또는 시스템의 구성을 정의하는 데 필요한 독립적인 매개변수의 수를 의미한다. 강체의 경우 6개의 자유도(3개의 병진 운동과 3개의 회전 운동)를 가지며, 변형 가능한 물체는 무한대의 자유도를 가질 수 있다. 시스템의 자유도는 구성 요소를 지정하는 데 필요한 최소 좌표 수로 볼 수 있으며, 그뤼블러-커츠바흐 방정식과 이동성 공식을 통해 계산할 수 있다. 다물체 시스템은 각 물체의 자유도를 합한 값에서 내부 제약 조건을 뺀 값을 가지며, 로봇 공학, 항공기, 선박 등 다양한 분야에서 적용된다. 전기 공학에서는 위상 배열 안테나의 빔 형성 방향 수를 나타내는 데 사용되기도 한다.

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자유도 (역학)

2. 자유도의 계산

''n''차원 강체의 위치는 강체 변환 T = [A, d]로 정의된다. 여기서 d는 n차원 병진 이동이고, A는 n × n 회전 행렬이며, n개의 병진 자유도와 n(n − 1)/2개의 회전 자유도를 갖는다.^[1] 회전 자유도의 수는 회전군 SO(n)의 차원에서 나온다.^[1]

비강체 또는 변형 가능한 물체는 많은 미세 입자(무한 수의 자유도)의 집합으로 생각할 수 있으며, 이는 종종 유한 자유도 시스템으로 근사화된다.^[1] 큰 변위가 관련된 운동이 주요 연구 목표인 경우(예: 위성 운동 분석), 변형 가능한 물체는 분석을 단순화하기 위해 강체(또는 입자)로 근사화될 수 있다.^[1]

시스템의 자유도는 구성을 지정하는 데 필요한 최소 좌표 수로 볼 수 있다.^[1] 이 정의를 적용하면 다음과 같다.

평면상의 단일 입자는 두 개의 좌표로 위치를 정의하므로 자유도가 2개이다.^[1]
공간상의 단일 입자는 세 개의 좌표가 필요하므로 자유도가 3개이다.^[1]
공간상의 두 입자는 총 여섯 개의 자유도를 갖는다.^[1]
이원자 분자처럼 공간상의 두 입자가 서로 일정한 거리를 유지하도록 제한되는 경우, 여섯 개의 좌표는 거리 공식에 의해 정의된 단일 제약 조건을 만족해야 한다.^[1] 이는 시스템의 자유도를 다섯 개로 줄인다. 거리 공식으로 다른 다섯 개가 지정되면 나머지 좌표를 구할 수 있기 때문이다.^[1]

2. 1. 일반적인 경우

일반적으로 2차원에서 한 점의 자유도는 좌우(x축), 상하(y축), 평면상의 회전으로, 총 3개이다. 3차원에서 한 점의 자유도는 좌우(x축), 상하(y축), 전후(z축), x-y 평면상의 회전, y-z 평면상의 회전, z-x 평면상의 회전으로, 총 6개이다.

''n''차원 강체의 위치는 강체 변환 T = [A, d]로 정의된다. 여기서 d는 n차원 병진 이동이고, A는 n × n 회전 행렬이다. n개의 병진 자유도와 n(n − 1)/2개의 회전 자유도를 갖는다. 회전 자유도의 수는 회전군 SO(n)의 차원에서 나온다.

비강체 또는 변형 가능한 물체는 많은 미세 입자(무한 수의 자유도)의 집합으로 생각할 수 있으며, 이는 종종 유한 자유도 시스템으로 근사화된다. 큰 변위가 관련된 운동이 주요 연구 목표인 경우(예: 위성 운동 분석), 변형 가능한 물체는 분석을 단순화하기 위해 강체(또는 입자)로 근사화될 수 있다.

시스템의 자유도는 구성을 지정하는 데 필요한 최소 좌표 수로 볼 수 있다. 이 정의를 적용하면 다음과 같다.

경우	설명	자유도
평면상의 단일 입자	두 개의 좌표가 위치를 정의	2
공간상의 단일 입자	세 개의 좌표가 필요	3
공간상의 두 입자		6
공간상의 두 입자 (일정한 거리를 유지)	거리 공식에 의해 정의된 단일 제약 조건을 만족해야 하므로, 자유도는 5개	5

2. 2. 그뤼블러-커츠바흐 방정식

일반적인 메커니즘의 자유도 값을 구하는 방법을 그뤼블러-커츠바흐 방정식이라고 한다. 그뤼블러 방정식은 다음과 같다.

:

M=3L-2J-3G

:M은 자유도, L은 링크의 수, J는 접점의 수, G는 땅에 고정된 링크의 수이다.

하지만 실제 존재하는 모든 메커니즘의 경우에는 G의 값이 1이다. 또한 그뤼블러 방정식은 자유도가 2인 접점(미끄러지는 경우 등)을 반영하고 있지 않다. 이를 반영한 식이 커츠바흐 방정식이다.

:

M=3(L-1)-2J_1-J_2

:J₁은 자유도가 1인 접점의 수, J₂은 자유도가 2인 접점의 수이다.

또한 3차원인 경우에는

:

M=6(L-1)-5J_1-4J_2-3J_3-2J_4-J_5

3. 강체의 자유도

단일 강체는 최대 6개의 자유도(6 DOF)를 가진다. 3개의 병진 운동과 3개의 회전 운동으로 구성되며, 오일러 각을 통해 회전 운동을 이해할 수 있다.

3차원에서 한 점의 자유도는 x축(좌우), y축(상하), z축(전후), x-y 평면 회전, y-z 평면 회전, z-x 평면 회전으로 총 6개이다.

3. 1. 선박의 운동

해상 선박의 운동은 6자유도를 가지며 다음과 같이 설명된다.^[2]

# '''전진''' (또는 '''서징'''): 앞뒤로 움직임.

# '''이동''' (또는 '''스웨잉'''): 좌우로 움직임.

# '''상승''' (또는 '''히빙'''): 위아래로 움직임.

# '''롤 회전''' ('''롤'''): 좌우로 회전. 롤 (선박 운동) 참조.

# '''피치 회전''' ('''피치'''): 앞뒤로 기울어짐. 피치 (선박 운동) 참조.

# '''요 회전''' ('''요'''): 좌우로 회전. 요 (선박 운동) 참조.

'''요 속도'''(또는 '''요 각속도'''): 요 속도 센서로 측정된 요 회전의 각속도.
'''요잉 모멘트''': 요 회전의 각운동량.

3. 2. 항공기의 운동

비행 중인 항공기의 궤적은 3개의 자유도를 가지며, 궤적을 따른 자세는 3개의 자유도를 가지므로 총 6개의 자유도를 갖는다.^[2]

비행 역학에서의 롤은 롤 (항공)을 참조한다.
중요한 파생 변수는 롤 속도(또는 롤 속도)로, 항공기가 롤 자세를 변경할 수 있는 각속도이며, 일반적으로 초당 각도로 표현된다.
비행 역학에서의 피치는 피치 (항공)을 참조한다.
비행 역학에서의 요는 요 (항공)을 참조한다.
한 가지 중요한 파생 변수는 요 속도(또는 요 속도)로, 요 속도 센서로 측정된 요 회전의 각속도이다.
또 다른 중요한 파생 변수는 요잉 모멘트(yawing moment)로, 요 회전의 각운동량이며, 항공기 역학에서 반대 요에 중요하다.

3. 3. 낮은 이동성 (Lower Mobility)

물리적 제약은 단일 강체의 자유도 수를 제한할 수 있다. 예를 들어, 평평한 테이블 위에서 미끄러지는 블록은 2개의 병진 이동(2T)과 1개의 회전 운동(1R)으로 구성된 3개의 자유도(2T1R)를 갖는다. SCARA와 같은 XYZ 위치 지정 로봇은 3개의 자유도(3T)를 갖는 낮은 이동성을 갖는다.^[1]

4. 이동성 공식 (Mobility Formula)

이동성 공식은 강체 집합의 구성을 정의하는 매개변수의 수를 계산한다.^[3]^[4]

공간에서 움직이는 ''n''개의 강체 시스템은 고정된 프레임에 대해 6''n'' 자유도를 갖는다. 고정된 물체를 포함하여 ''N'' = ''n'' + 1 개의 제약 없는 시스템의 자유도는 다음과 같이 계산된다.

: $M=6n=6(N-1), \!$

이는 고정된 물체가 자체에 대해 0개의 자유도를 가지기 때문이다.

물체를 연결하는 조인트는 자유도를 제거하여 이동성을 감소시킨다. 힌지와 슬라이더는 각각 5개의 제약을 부과하여 5개의 자유도를 제거한다. 조인트의 자유도 ''f''와 제약의 수 ''c''는 ''c'' = 6 - ''f''의 관계를 갖는다. 자유도가 1인 힌지 또는 슬라이더의 경우, ''f'' = 1 이므로 ''c'' = 5 가 된다.

따라서 ''n''개의 움직이는 링크와 각각 자유도 ''f''_''i'' (''i'' = 1, ..., ''j'')를 갖는 ''j''개의 조인트로 구성된 시스템의 이동성은 다음과 같다.

: $M = 6n - \sum_{i=1}^j\ (6 - f_i) = 6(N-1 - j) + \sum_{i=1}^j\ f_i$

여기서 ''N''은 고정된 링크를 포함한다.
단순 열린 사슬과 단순 닫힌 사슬

단순 열린 사슬: ''n''개의 움직이는 링크가 ''n''개의 조인트로 연결되고, 한쪽 끝은 지면 링크에 연결된다. 이 경우 ''N'' = ''j'' + 1 이고, 이동성은 다음과 같다.

:

M = \sum_{i=1}^j\ f_i

단순 닫힌 사슬: ''n''개의 움직이는 링크가 ''n'' + 1개의 조인트로 연결되어 루프를 형성하고, 두 끝은 지면 링크에 연결된다. 이 경우 ''N'' = ''j'' 이고, 이동성은 다음과 같다.

:

M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 6

단순 열린 사슬의 예로는 직렬 로봇 매니퓰레이터가 있으며, 6개의 1자유도 회전 또는 각주 조인트로 연결되어 6개의 자유도를 갖는다. 단순 닫힌 사슬의 예로는 RSSR 공간 4절 링크가 있으며, 자유도 합이 8이므로 이동성은 2이다.
평면 및 구면 링크 기구링크 기구 시스템은 평면 링크 기구 또는 구면 링크 기구로 설계될 수 있다. 이 경우 각 링크의 자유도는 3이 되고, 조인트에 의한 제약은 ''c'' = 3 - ''f'' 가 된다.

이동성 공식은 다음과 같이 수정된다.

:

M = 3(N- 1 - j)+ \sum_{i=1}^j\ f_i,

평면 또는 구면 단순 열린 사슬:

:

M = \sum_{i=1}^j\ f_i,

평면 또는 구면 단순 닫힌 사슬:

:

M = \sum_{i=1}^j\ f_i - 3.

평면 단순 닫힌 사슬의 예로는 평면 사절 링크가 있으며, 4개의 1자유도 조인트로 구성된 루프이므로 이동성은 1이다.

5. 다물체 시스템 (Systems of Bodies)

여러 개의 물체로 이루어진 시스템은 각 물체의 자유도를 합한 값에서 상대적인 운동에 대한 내부 제약 조건을 뺀 값을 갖는다. 여러 개의 연결된 강체로 구성된 메커니즘 또는 연결 기구는 단일 강체의 자유도보다 더 많은 자유도를 가질 수 있다. 여기서 ''자유도''라는 용어는 연결 기구의 공간 자세를 지정하는 데 필요한 매개변수의 수를 설명하는 데 사용된다. 또한 로봇의 구성 공간, 작업 공간 및 작업 영역의 맥락에서 정의된다.

특정 유형의 연결 기구는 열린 운동 연쇄로, 일련의 강성 링크가 관절에서 연결된다. 관절은 1개의 자유도(힌지/슬라이딩) 또는 2개의 자유도(원통형)를 제공할 수 있다. 이러한 체인은 로봇 공학, 생체 역학, 인공위성 및 기타 우주 구조에서 흔히 발생한다. 인간의 팔은 7개의 자유도를 갖는 것으로 간주된다. 어깨는 피치, 요, 롤을 제공하고, 팔꿈치는 피치를 허용하며, 손목은 피치, 요 및 롤을 허용한다. 이러한 움직임 중 3개만 공간의 모든 지점으로 손을 움직이는 데 필요하지만, 사람들은 다른 각도나 방향에서 물건을 잡는 능력이 부족할 것이다. 6개의 물리적 자유도를 모두 제어하는 메커니즘을 가진 로봇(또는 물체)은 홀로노믹하다고 한다. 전체 자유도보다 제어 가능한 자유도가 적은 물체는 비홀로노믹하다고 하며, 전체 자유도보다 제어 가능한 자유도가 더 많은 물체(예: 인간의 팔)는 중복이라고 한다. 그러나 손목과 어깨는 360도 회전을 할 수 없기 때문에 서로 보완하는 두 개의 자유도는 동일한 움직임을 나타내므로, 인간의 팔에서는 중복되지 않는다. 자유도는 만들 수 있는 다양한 움직임과 같다.

이동 로봇 공학에서 자동차형 로봇은 2차원 공간에서 모든 위치와 방향에 도달할 수 있으므로 자세를 설명하려면 3개의 자유도가 필요하지만, 어느 시점에서든 전진 운동과 조향 각도로만 이동할 수 있다. 따라서 두 개의 제어 자유도와 세 개의 표현 자유도를 가지며, 비홀로노믹하다. 3차원 공간에서 3~4개의 제어 자유도(전진 운동, 롤, 피치 및 제한적인 범위 내에서 요)를 가진 고정익 항공기도 직접 위/아래 또는 좌/우로 이동할 수 없으므로 비홀로노믹하다.

기계 시스템의 자유도를 계산하기 위한 공식 및 방법 요약은 Pennestri, Cavacece 및 Vita에 의해 제공되었다.^[5]

6. 전기 공학에서의 자유도

전기 공학에서 ''자유도''는 위상 배열 안테나가 빔 또는 널을 형성할 수 있는 방향의 수를 설명하는 데 자주 사용된다. 배열에 포함된 요소의 수보다 1이 적다. 하나의 요소는 나머지 각 안테나 요소를 사용하여 건설적 또는 파괴적 간섭을 적용할 수 있는 기준점으로 사용되기 때문이다. 레이더 기술과 통신 링크 기술에서 빔 조향은 레이더 응용 분야에 더 많이 사용되고 널 조향은 통신 링크에서 간섭 억제에 더 많이 사용된다.

참조

_[1] 논문 Principles and techniques for designing precision machines http://ocw.mit.edu/c[...] Massachusetts Institute of Technology
_[2] 웹사이트 Summary of ship movement http://www.pomorci.c[...] 2011-11-25
_[3] 서적 Theory of Machines and Mechanisms Oxford University Press
_[4] 서적 Geometric Design of Linkages https://books.google[...] Springer
_[5] 학회발표 On the Computation of Degrees-of-Freedom: A Didactic Perspective 2005

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